Два охотника стреляют по два раза — какова вероятность попадания? - коротко
Определение общей вероятности попадания, когда два охотника производят по два выстрела каждый, невозможно без знания индивидуальной вероятности попадания для каждого отдельного выстрела. Для точного расчета необходимо располагать данными о меткости каждого охотника, поскольку от них зависят все дальнейшие вычисления. Обычно под 'вероятностью попадания' в подобных задачах подразумевается вероятность того, что хотя бы один из четырех произведенных выстрелов достигнет цели. Методологически, часто проще вычислить вероятность того, что ни один из выстрелов не попадет в цель, а затем вычесть это значение из единицы, чтобы получить искомую вероятность хотя бы одного попадания. Таким образом, исходные данные о вероятности попадания для каждого охотника являются критически важными для решения задачи.
Точная вероятность попадания не может быть определена без знания индивидуальных вероятностей попадания каждого охотника. Как правило, под этим понимается вероятность хотя бы одного успешного выстрела из всех четырех.
Два охотника стреляют по два раза — какова вероятность попадания? - развернуто
Нахождение вероятности событий, связанных с несколькими независимыми испытаниями, требует систематического подхода и четкого определения исходных данных. В рассматриваемом случае, когда речь идет о двух охотниках, каждый из которых производит по два выстрела, необходимо прежде всего установить вероятность попадания при одном отдельном выстреле. Обозначим эту вероятность как $p$. Соответственно, вероятность промаха при одном выстреле будет $q = 1 - p$. Важно отметить, что предполагается независимость результатов каждого выстрела друг от друга, а также независимость действий одного охотника от другого.
Рассмотрим сначала результаты для одного охотника, который делает два выстрела. Для него возможны четыре уникальных исхода, каждый из которых имеет свою вероятность:
- Попадание, Попадание (ПП): Вероятность этого события равна произведению вероятностей двух попаданий, то есть $p \times p = p^2$.
- Попадание, Промах (ПМ): Вероятность этого события равна произведению вероятности попадания в первом выстреле и промаха во втором, то есть $p \times q$.
- Промах, Попадание (МП): Вероятность этого события равна произведению вероятности промаха в первом выстреле и попадания во втором, то есть $q \times p$.
- Промах, Промах (ММ): Вероятность этого события равна произведению вероятностей двух промахов, то есть $q \times q = q^2$.
Сумма вероятностей всех этих исходов для одного охотника в совокупности составляет единицу: $p^2 + pq + qp + q^2 = p^2 + 2pq + q^2 = (p+q)^2 = 1^2 = 1$, что подтверждает корректность проведенных расчетов.
Далее определим вероятность того, что один охотник совершит хотя бы одно попадание за свои два выстрела. Для этого наиболее удобно использовать принцип дополнительного события. Событие "хотя бы одно попадание" является дополнением к событию "ни одного попадания" (то есть "промах, промах"). Таким образом, вероятность хотя бы одного попадания для одного охотника составляет $1 - P(\text{ММ}) = 1 - q^2$.
Теперь перейдем к ситуации с двумя охотниками, каждый из которых стреляет по два раза, что в сумме составляет четыре выстрела. Вопрос о "вероятности попадания" в таких задачах, как правило, интерпретируется как вероятность того, что будет хотя бы одно попадание среди всех произведенных выстрелов. Это наиболее распространенная и логичная трактовка. Для расчета этой вероятности также применяется метод дополнительного события: вероятность того, что будет хотя бы одно попадание, равна единице минус вероятность того, что не будет ни одного попадания среди всех четырех выстрелов.
Если первый охотник не попадает ни разу (вероятность этого события, как мы выяснили, равна $q^2$), и второй охотник также не попадает ни разу (вероятность также равна $q^2$), то, поскольку действия охотников являются независимыми событиями, вероятность того, что ни один из них не попадет ни разу (то есть все четыре выстрела окажутся промахами), будет произведением этих индивидуальных вероятностей: $P(\text{ни одного попадания от обоих охотников}) = q^2 \times q^2 = q^4$.
Следовательно, вероятность того, что будет хотя бы одно попадание среди всех четырех выстрелов, определяется как $1 - P(\text{ни одного попадания от обоих охотников}) = 1 - q^4$. Подставляя $q = 1 - p$, получаем окончательную формулу для искомой вероятности: $1 - (1-p)^4$.
Для наглядности приведем численный пример. Предположим, вероятность попадания для каждого отдельного выстрела ($p$) составляет 0,8 (то есть 80%). Тогда вероятность промаха ($q$) будет $1 - 0,8 = 0,2$.
- Вероятность того, что один охотник промахнется дважды: $q^2 = (0,2)^2 = 0,04$.
- Вероятность того, что ни один из двух охотников не попадет ни разу (то есть все четыре выстрела будут промахами): $q^4 = (0,2)^4 = 0,0016$.
- Вероятность того, что будет хотя бы одно попадание среди всех четырех выстрелов: $1 - q^4 = 1 - 0,0016 = 0,9984$. Это демонстрирует, что при такой высокой индивидуальной вероятности попадания (80% на каждый выстрел), вероятность получить хотя бы одно попадание из четырех попыток достигает очень высокого значения, приближаясь к 100%.
Важно учитывать, что формулировка задачи может иногда допускать иные интерпретации, например:
- Вероятность того, что оба охотника совершат хотя бы по одному попаданию. В таком случае, вероятность будет произведением вероятностей успеха для каждого охотника: $(1 - q^2) \times (1 - q^2) = (1 - q^2)^2$.
- Вероятность того, что будет ровно определенное количество попаданий (например, ровно два попадания). Этот расчет является более сложным, поскольку требует анализа всех возможных комбинаций исходов, которые в сумме дают желаемое число попаданий (например, для двух попаданий это могут быть варианты вроде Попадание-Попадание-Промах-Промах, Попадание-Промах-Попадание-Промах и так далее, учитывая, кто именно попал). Однако, при отсутствии дополнительных уточнений, стандартной интерпретацией остается расчет вероятности "хотя бы одного попадания".
Таким образом, для исчерпывающего ответа на поставленный вопрос, наиболее релевантным и общепринятым является расчет вероятности получения как минимум одного попадания из общего числа выстрелов, которая определяется по формуле $1 - (1-p)^4$, где $p$ — исходная вероятность попадания при одном выстреле.